Kita sebagai matematikawan mempunyai kepercayaan yang sederhana akan suatu kebenaran matematika. Seperti telah terungkap di atas, bahwa matematika berisi tentang “aturan” yang dipercayai tanpa ada yang bertanya “mengapa demikian?”, contohnya dalam suatu bukti. Ketika kita membuktikan suatu teorema maka yang kita lakukan adalah membuktikan secara deduksi-aksiomatis. Beberapa baris dari suatu bukti merupakan konsekwensi yang tampak dari baris sebelumnya, yang kemudian membentuk suatu bukti. Tapi yang menjadi pertanyaan besar adalah. “bagaimana kita tahu bahwa bukti tersebut benar?” hanya mengecek baris demi baris dari bukti yang sudah kita tuliskan?
Kasus 1
Pada suatu waktu penulis memberikan suatu discrepan problem kepada mahasiswa. Mahasiswa kemudian diminta untuk menggambar sebarang segitiga, yang kemudian penulis buktikan bahwa segitiga tersebut adalah segitiga samakaki. Proses tersebut tergambar sebagai berikut.
Teorema:
Semua segitiga adalah segitiga samakaki.
Gambar 1: segitiga sembarang
Langkah-langkah kontruksi:
Buat garis bagi sudut ACB
Buat garis sumbu pada sisi AB.
Kedua garis tersebut berpotongan di satu titik, namai titik G. Melalui titik G, tarik garis ke titik A dan titik B. Kemudian melalui titik G, buat garis tegak lurus ke sisi AC dan sisi BC, namai titik potong garis-garis tersebut I dan H (lihat gambar 2)
Bukti:
Lihat ∆AFG dan ∆BFG
AF = BF (F pertengahan AB)
∠AFG = ∠AFG (siku-siku)
FG = FG (berhimpit)
… ∆AFG ≅ ∆BFG (S Sd S).
Akibatnya AG = BG 1*)
Lihat ∆ICG dan ∆HCG
GC = GC (berhimpit)
∠GCI = ∠GCH (CG garis bagi)
∠GIC = ∠GHC (siku-siku)
… ∆AFG ≅∆BFG (S Sd Sd).
Akibatnya CI = CH 2*)
dan IG = GH 3*)
Lihat ∆AGI dan ∆BGH
IG = GH (dari 3*))
∠AIG = ∠BHG (siku-siku)
∠ CI = CH (dari 1*)
… ∆AGI ≅ ∆BGH.(pada segitiga siku-siku, jika salah satu penyikunya sama dan sisi miringnya sama, maka kedua segitiga tersebut kongruen
Akibatnya AI = BH 4*)
Perhatikan, dari 2*) diperoleh CI = CH
dan 4*) diperoleh AI = BH +
CI + AI = CH + BH
AC = BC
Jadi Segitiga ABC merupakan segitiga sama kaki.
∎
Coba perhatikan, langkah demi langkah, baris demi baris, adakah yang menyalahi pembuktian secara deduksi-aksiomatik?
Ketika problem ini disajikan, pada awalnya mahasiswa mempunyai “beliefs” bahwa teorema tersebut tidak akan bisa dibuktikan. Tetapi ketika penulis sudah menuliskan, menanyakan dan meminta mahasiswa mengecek kebenaran bukti tersebut, terlihat bahwa “beliefs” mahasiswa goyah. Di sanalah terjadi pertentangan antara pengetahuan yang telah tersimpan di dalam memori dengan fakta yang ada di hadapan mahasiswa sekarang.
Bagaimana dengan Anda?
Tunggu Jawabannya pada Posting berikutnya....
