Discrepan Problem: Pengocok Beliefs dalam Pengajaran Geometri

Beliefs yang dimiliki oleh individu merupakan aktivitas berpikir dan emosi, yang membentuk kegiatan afektif (McLeod, 1992). Di dalam konteks ini, beliefs adalah apa yang pembelajar percayai untuk menjadi benar tentang matematika atau percaya akan kebenaran matematika dan sering diperoleh melalui pengalaman pribadi sebagai pembelajar matematika.
Kita sebagai matematikawan mempunyai kepercayaan yang sederhana akan suatu kebenaran matematika. Seperti telah terungkap di atas, bahwa matematika berisi tentang “aturan” yang dipercayai tanpa ada yang bertanya “mengapa demikian?”, contohnya dalam suatu bukti. Ketika kita membuktikan suatu teorema maka yang kita lakukan adalah membuktikan secara deduksi-aksiomatis. Beberapa baris dari suatu bukti merupakan konsekwensi yang tampak dari baris sebelumnya, yang kemudian membentuk suatu bukti. Tapi yang menjadi pertanyaan besar adalah. “bagaimana kita tahu bahwa bukti tersebut benar?” hanya mengecek baris demi baris dari bukti yang sudah kita tuliskan?
Kasus 1
Pada suatu waktu penulis memberikan suatu discrepan problem kepada mahasiswa. Mahasiswa kemudian diminta untuk menggambar sebarang segitiga, yang kemudian penulis buktikan bahwa segitiga tersebut adalah segitiga samakaki. Proses tersebut tergambar sebagai berikut.
Teorema:
Semua segitiga adalah segitiga samakaki.


Gambar 1: segitiga sembarang
Langkah-langkah kontruksi:
Buat garis bagi sudut ACB
Buat garis sumbu pada sisi AB.
Kedua garis tersebut berpotongan di satu titik, namai titik G. Melalui titik G, tarik garis ke titik A dan titik B. Kemudian melalui titik G, buat garis tegak lurus ke sisi AC dan sisi BC, namai titik potong garis-garis tersebut I dan H (lihat gambar 2)
Bukti:
Lihat ∆AFG dan ∆BFG
AF = BF (F pertengahan AB)
∠AFG = ∠AFG (siku-siku)
FG = FG (berhimpit)
… ∆AFG ≅ ∆BFG (S Sd S).
Akibatnya AG = BG 1*)

Lihat ∆ICG dan ∆HCG
GC = GC (berhimpit)
∠GCI = ∠GCH (CG garis bagi)
∠GIC = ∠GHC (siku-siku)
… ∆AFG ≅∆BFG (S Sd Sd).
Akibatnya CI = CH 2*)
dan IG = GH 3*)

Lihat ∆AGI dan ∆BGH
IG = GH (dari 3*))
∠AIG = ∠BHG (siku-siku)
∠ CI = CH (dari 1*)
… ∆AGI ≅ ∆BGH.(pada segitiga siku-siku, jika salah satu penyikunya sama dan sisi miringnya sama, maka kedua segitiga tersebut kongruen
Akibatnya AI = BH 4*)

Perhatikan, dari 2*) diperoleh CI = CH
dan 4*) diperoleh AI = BH +

CI + AI = CH + BH
AC = BC
Jadi Segitiga ABC merupakan segitiga sama kaki.
∎

Coba perhatikan, langkah demi langkah, baris demi baris, adakah yang menyalahi pembuktian secara deduksi-aksiomatik?
Ketika problem ini disajikan, pada awalnya mahasiswa mempunyai “beliefs” bahwa teorema tersebut tidak akan bisa dibuktikan. Tetapi ketika penulis sudah menuliskan, menanyakan dan meminta mahasiswa mengecek kebenaran bukti tersebut, terlihat bahwa “beliefs” mahasiswa goyah. Di sanalah terjadi pertentangan antara pengetahuan yang telah tersimpan di dalam memori dengan fakta yang ada di hadapan mahasiswa sekarang.

Bagaimana dengan Anda?

Tunggu Jawabannya pada Posting berikutnya....

Standar Problem dalam Geometri

Problem yang biasa ditemui dalam geometri biasanya mengandung persoalan seperti di bawah ini.

Membuktikan suatu teorema secara deduktif-aksiomatik (menggunakan metode geometri Euclid).

Menyelesaikan masalah kontruksi suatu bangun dengan menggunakan jangka dan penggaris.

Membuktikan teorema geometri menggunakan aljabar, aritmetik, geometri koordinat atau vektor(geometri analitik dan transformasi).

Menentukan ukuran dari bagian yang belum diketahui dari gambar geometri yang diberikan.

Perlu diperhatikan, aspek dalam “geometri problem solving” berbeda dengan “aljabar problem solving” dalam hal memperoleh suatu bukti, dengan sedikit pengecualian, disana tidak ada gambar yang membantu dan menjamin solusi yang dibuat oleh problem solver dari problem tersebut.

Berikut ini saran yang mestinya menjadi perhatian dalam proses membuktkan teoema geometri (problem to prove):

1. Analisa hipotesanya: lukiskan gambar (yang berhubungan dengan problem) dengan rapi, bersih dan jelas; perhatikan akurasi relatif dari gambar yang berupa titik, segmen garis, tanda kesejajaran dua buah garis dan lain-lain, hal ini dimasksudkan untuk kita dapat mengetahui hubungan antara objek dengan baik.

2. Analisa kesimpulannya: pertimbangkan kesimpulannya dan lihat kemungkinan adanya hubungan dengan problem yang lain atau problem yang telah lalu yang sudah dibuktikan.

3. Temukan hubungan antara hipotesa dan simpulan. Untuk mengerjakan ini kamu harus memahami semua postulat yang ada dengan tepat, definisi, teorema yang telah dibuktikan sebelumnya, dan aturan umum (common notion). Sebagai tambahan, yaitu pengalaman dalam memperoleh solusi dari masalah yang lain; intuisi dan imajinasi anda harus sering dilatih dalam usaha untuk membuktikan teorema dan kemampuan mengkonstruksi.

Problem to Find and Problem to Prove

Problem/permasalahan dalam matematika kita kenal sebagai problem to find dan problem to prove. Kita melukiskannya sebagai dua jenis problem yang kedudukannya paralel.
1). Tujuan dari ”problem to find” adalah untuk menemukan suatu objek yang pasti, sesuatu yang belum diketahui ”the unknown” di dalam masalah tersebut. Sesuatu yang tidak diketahui tersebut dinamakan ”questium” atau sesuatu yang harus dicari, atau wajib dipikirkan. ”Problem to find” dapat bersifat teori atau praktik, abstrak atau kongkrit, problem yang serius atau hanya sekedar problem berupa puzzle. Kita mungkin mencari semua jenis yang tidak diketahui; kita mungkin mencoba untuk menemukan, memperoleh, mendapatkan, menghasilkan, atau mengkonstruksi semua jenis objek yang dapat dibayangkan. Problem pada sebuah cerita misteri adalah tidak diketahuinya siapa sebenarnya si pembubuh. Pada catur problemnya adalah tidak diketahuinya pergerakan buah catur dari lawan. Tentunya problem pada sebuah teka-teki adalah tidak diketahuinya kata-kata. Problem pada aljabar dasar adalah tidak diketahuinya bilangan-bilangan. Dan problem pada geometri kontruksi adalah tidak diketuhuinya gambar.
2). Tujuan dari ”problem to prove” adalah untuk menunjukkan dan meyakinkan bahwa pernyataan yang telah ditetapkan adalah benar, atau dalam hal lain untuk menunjukkan bahwa pernyataan tersebut salah. Kita mempunyai jawaban dari pertanyaan: Apakah pernyataan tersebut benar atau salah? Dan kita mempunyai jawaban yang meyakinkan, salah satu dibuktikan dari pernyataan tersebut adalah benar atau dibuktikan pernyataan tersebut adalah salah.
3). Bagian yang penting dari ”problem to find” adalah sesuatu yang tidak diketahui ”the unknown”, data, dan kondisi/persyaratannya.
Jika kita diminta mengkonstruksi sebuah segitiga dengan sisi a, b, dan c dari segitiga yang tidak diketahui, maka datanya adalah berupa ketiga sisi dari segitiga tersebut yaitu a, b, dan c dan segitiga diperoleh dengan kondisi/persyaratan bahwa sisi-sisi diberikan dengan panjang a, b, c. Jika kita diminta mengkonstruksi sebuah segitiga dengan tingginya adalah a, b, dan c, sesuatu yang tidak diketahui tersebut adalah objek dengan kategori yang sama dengan sebelumnya yaitu segitiga, data yang sama, tetapi kondisi/persyaratan yang menghubungkan antara yang tidak diketahui dan data adalah berbeda.
4). Jika ”problem to prove” adalah problem dalam matematika, yang merupakan bagian penting adalah hipotesis dan kesimpulan dari sebuah teorema yang terbukti atau tidak terbukti.
”Jika empat buah sisi pada sebuah segiempat adalah sama, maka dua diagonalnya saling tegak lurus sesamanya.” Pernyataan yang kedua diawali dengan kata ”maka” ini merupakan sebuah simpulan, sedangkan bagian pertama diawali dengan ”jika” ini merupakan sebuah hipotesis.
[tidak semua teorema dalam matematika dapat dibagi menjadi hipotesis dan simpulan. Dicontohkan, hampir tidak mungkin membagi teorema: terdapat tak berhingga banyak bilangan prima.”]
5). Jika anda ingin untuk menyelesaikan ”problem to find” Anda harus tahu, dan tahu dengan sangat yakin, ini merupakan bagian yang sangat penting, sesuatu yang tidak diketahui, data dan kondisi/persayaratannya. Pada beberapa hal banyak pertanyaan dan membeikan perasaan cemas dengan bagian ini.
Apa yang tidak diketahui? Apa data yang dipunyai? Bagaimana persyaratannya?
Bagi dalam berbagai macam bagian dari persyaratannya.
Temukan hubungan antara data dan seseuatu yang tidak diketahui.
Cari yang tidak diketahui! Dan coba berpikir tentang permasalahan yang hampir sama atau sesuatu yang tidak diketahui yang hampir sama.
Tetapkan bagian dari persyaratan,buang bagian yang tidak diperlukan; seberapa jauh sesuatu yang tidak diketahui dan kemudian hitunglah, Bagaimana dengan cara yang berbeda? Dapatkan anda melacak sesuatu yang dapat digunakan dari data? Dapatkan anda berpikir dari data yang lain yang tepat untuk menghitung sesuatu yang tidak diketahui? Dapatkan anda mengubah/menukar sesuatu yang tidak diketahui, atau datanya, atau keduanya perlu, jadi ada sesuatu yang tidak diketahui yang baru dan data baru yang dekat satu dengan yang lainya?
Apakah kalian telah menggunakan semua data? Apakah kalian telah menggunakan semua kondisi/persyaratan yang ada?
6). Jika anda ingin menyelesaikan ”problem to prove” Anda harus tahu, dan tahu dengan pasti, ini bagian yang sangat penting, hipotesis dan kesimpulan. Di sana digunakan pertanyaan dan saran yang mencemaskan dan bagian ini berkoresponden dengan pertanyaan dan saran yang ada bagian sebelumnya khususnya diadaptasikan dari ”problem to find”
Apa yang menjadi hipotesisnya? Apa yang menjadi kesimpulannnya?
Bagilah kedalam beberapa bagian dari hipotesis.
Temukan hubungan antara hipotesis dan kesimpulan.
Lihat kesimpulannya! Dan cobalah berpikir tentang teorema yang sejenis yang mempunyai simpulan yang sama atau hampir sama.
Pertahankan bagian yang berupa hipotesis, buang bagian yang tidak diperlukan; Apakah simpulan yang dibuat masih valid?Dapatkah kalian melacak sesuatu yang digunakan dari hipotesis? Dapatkah kalian berpikir hipotesis yang lain dari yang kamu temukan agar lebih mudah melacak kesimpulan? Dapatkah kalian merubah hipotesisnya, atau kesimpulannnya, atau keduanya perlu, jadi terdapat hipotesis baru dan kesimpulan baru yang dekat satu dengan yang lainnya? Apakah kalian telah menggunakan semua hipotesis?
7). ”Problem to find” lebih banyak diterapkan pada matematika tingkat dasar, sedangkan ”problem to prove” lebih banyak diterapkan pada matematika yang lebih tinggi.

Diadaptasikan dari: HOW TO SOLVE IT: A New Aspect of Mathematical Method (G. Polya)